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第一篇 高等数学的核心：微积分——以极限研究函数的学科3

第1章 函数——微积分研究的对象3

1.1 函数的发展及微积分的常用符号3

1.1.1 函数的演变3

1.1.2 数集的拓广、邻域及常用的逻辑符号5

1.2 函数7

1.2.1 函数的概念7

1.2.2 函数的表示法9

1.2.3 四类特殊函数11

1.2.4 函数的运算13

1.2.5 初等函数15

习题119

第2章 极限——微积分的基础工具23

2.1 数列极限23

2.1.1 极限的思想23

2.1.2 数列极限的“ε-N语言”——极限的定量描述24

2.1.3 收敛数列的性质26

2.1.4 数列极限的四则运算27

2.1.5 数列收敛的判别法28

2.2 函数极限31

2.2.1 x→x0的情形31

2.2.2 x→x- 0与x→x+ 0的情形33

2.2.3 x→∞的情形34

2.2.4 函数极限的性质35

2.2.5 函数极限的四则运算法则及复合运算法则35

2.2.6 函数极限存在的判别及两个重要的极限37

2.2.7 无穷小量与无穷大量38

2.3 函数的连续性——极限的应用特例40

2.3.1 连续的概念40

2.3.2 闭区间上连续函数的整体性质43

习题245

第3章 导数与微分——变量的变化速度与局部改变量的估值48

3.1 导数——变量的变化速度48

3.1.1 抽象导数的两个现实原型48

3.1.2 导数的概念50

3.1.3 函数的连续与可导的关系51

3.2 求导数的运算法则与基本公式52

3.2.1 用定义求几个基本初等函数的导数52

3.2.2 求导数的运算法则53

3.2.3 基本初等函数的求导公式57

3.2.4 高阶导数60

3.3 微分——局部改变量的估值61

3.3.1 微分的概念61

3.3.2 微分公式与法则63

3.3.3 微分在近似计算中的简单应用64

习题365

第4章 微分中值定理和微分学的应用67

4.1 微分中值定理——联结局部与整体的桥梁67

4.1.1 费马定理67

4.1.2 中值定理68

4.2 洛必达法则——计算未定式极限的有效方法69

4.2.1 0/0及∞／∞型未定式70

4.2.2 其他类型的未定式71

4.3 函数的单调性、极值与最值——利用导数研究函数的性质72

4.3.1 单调性72

4.3.2 函数的极值74

4.3.3 函数的最值76

习题477

第5章 不定积分——微分的逆运算80

5.1 原函数与不定积分80

5.1.1 原函数的概念80

5.1.2 不定积分的概念81

5.1.3 不定积分的基本公式及线性运算法则83

5.2 换元积分法与分部积分法84

5.2.1 第一换元积分法（凑微分法）84

5.2.2 第二换元积分法86

5.2.3 分部积分法88

习题590

第6章 定积分——无限小量的累加和92

6.1 定积分的概念92

6.1.1 抽象定积分概念的两个现实原型92

6.1.2 定积分的概念94

6.1.3 可积的条件95

6.1.4 定积分的性质95

6.2 微积分基本定理及定积分的计算97

6.2.1 微积分基本定理98

6.2.2 微积分基本公式及定积分的计算99

6.3 定积分的应用100

6.3.1 微元法100

6.3.2 定积分应用实例101

6.4 广义积分——定积分的拓广103

习题6104

第二篇 高等数学的分支介绍109

第7章 常微分方程——微积分的直接应用109

7.1 常微分方程的基本概念109

7.1.1 例子109

7.1.2 基本概念110

7.2 一阶常微分方程及初等积分法111

7.2.1 可分离变量的常微分方程112

7.2.2 两类可化为可分离变量的微分方程114

7.2.3 一阶线性常微分方程116

习题7119

第8章 概率论与数理统计初步——随机数学的方法及应用121

8.1 研究随机现象的基本概念121

8.1.1 基本概念121

8.1.2 事件的关系与运算123

8.2 概率126

8.2.1 概率的各种定义126

8.2.2 条件概率和事件的独立性131

8.2.3 全概率公式和贝叶斯公式133

8.2.4 伯努利试验135

8.3 随机变量、数学期望与方差——随机现象的数学化137

8.3.1 随机变量的概念137

8.3.2 随机变量的类型138

8.3.3 数学期望与方差142

8.4 数理统计——收集和分析数据的方法144

8.4.1 数据的收集——统计的起点144

8.4.2 统计推断——由部分到整体的判断145

习题8147

第9章 线性代数——抽象符号背后的实质150

9.1 行列式150

9.1.1 行列式的概念150

9.1.2 行列式的性质155

9.1.3 克拉默法则157

9.2 高斯消元法159

9.3 矩阵及其运算161

9.3.1 矩阵的概念161

9.3.2 矩阵的运算164

9.4 矩阵的应用173

9.4.1 应用矩阵解线性方程组174

9.4.2 线性变换178

9.4.3 解矩阵方程180

习题9182

第10章 多元函数微积分——一元函数微积分的推广186

10.1 空间解析几何——数形结合的直观表达186

10.1.1 空间直角坐标系186

10.1.2 空间中两点间的距离187

10.1.3 空间曲面及空间曲线的方程188

10.1.4 常见的二次曲面及其方程190

10.2 多元函数的概念、极限与连续——多元函数微积分的基础193

10.2.1 多元函数的概念193

10.2.2 二元函数的极限195

10.2.3 二元函数的连续性197

10.3 偏导数与全微分198

10.3.1 一阶偏导数198

10.3.2 高阶偏导数200

10.3.3 全微分201

10.3.4 全微分在近似计算中的简单应用202

10.4 多元函数的极值和最值——多元函数微分学的应用203

10.4.1 二元函数的极值203

10.4.2 二元函数的最值205

10.4.3 条件极值205

10.5 二重积分的概念与计算206

10.5.1 二重积分的概念206

10.5.2 二重积分的性质209

10.5.3 二重积分的计算209

10.5.4 二重积分的应用212

习题10213

第11章 数学模型——量化问题的首要工具215

11.1 数学模型和数学建模215

11.1.1 数学模型215

11.1.2 数学建模216

11.2 哥尼斯堡七桥问题——建模示例之一218

11.3 人口模型——建模示例之二219

11.3.1 Malthus模型（人口指数增长模型）220

11.3.2 Logistic模型（人口阻滞增长模型）221

11.4 报童模型问题——建模示例之三223

11.5 公平的席位分配问题——建模示例之四226

习题11229

部分习题参考答案与提示231

参考书目241