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第1章 复数与复变函数1

1.1 复数及其运算1

1.1.1 复数的基本概念1

1.1.2 复数的代数运算1

1.1.3 复平面2

1.1.4 复数的乘幂与方根5

1.2 复球面与区域10

1.2.1 复球面10

1.2.2 区域11

1.3 复变函数13

1.3.1 复变函数的概念13

1.3.2 映射14

1.3.3 复变函数的极限16

1.3.4 复变函数的连续性18

本章小结19

习题120

第2章 解析函数23

2.1 解析函数的概念及充要条件23

2.1.1 复变函数的导数与微分23

2.1.2 解析函数的概念及性质25

2.1.3 函数解析的充要条件27

2.2 初等函数32

2.2.1 指数函数32

2.2.2 对数函数33

2.2.3 幂函数34

2.2.4 三角函数36

2.2.5 反三角函数39

2.2.6 双曲函数与反双曲函数39

本章小结40

习题242

第3章 复变函数的积分44

3.1 复变函数积分的概念44

3.1.1 复积分的定义44

3.1.2 复积分存在的条件及计算45

3.1.3 复积分的性质48

3.2 复变函数积分的基本定理49

3.2.1 柯西-古萨基本定理49

3.2.2 基本定理的推广——复合闭路定理50

3.2.3 原函数与不定积分52

3.3 复变函数积分的基本公式56

3.3.1 柯西积分公式56

3.3.2 解析函数的高阶导数公式57

3.4 解析函数与调和函数的关系60

3.4.1 调和函数的概念61

3.4.2 共轭调和函数61

3.4.3 解析函数与调和函数的关系62

本章小结64

习题366

第4章 级数70

4.1 复数项级数与幂级数70

4.1.1 复数列的极限70

4.1.2 复数项级数的概念72

4.1.3 复数项级数的审敛法72

4.1.4 复变函数项级数的概念74

4.1.5 幂级数及其收敛圆76

4.1.6 幂级数的运算和性质80

4.2 泰勒级数82

4.2.1 泰勒展开定理82

4.2.2 函数展开成泰勒级数的方法84

4.3 洛朗级数87

4.3.1 双边幂级数的概念与性质88

4.3.2 洛朗展开定理89

4.3.3 函数展开成洛朗级数的方法92

本章小结96

习题4100

第5章 留数103

5.1 孤立奇点103

5.1.1 可去奇点103

5.1.2 极点104

5.1.3 本性奇点106

5.1.4 解析函数的零点与极点的关系106

5.1.5 函数在无穷远点的性态108

5.2 留数110

5.2.1 留数概念及留数定理110

5.2.2 留数的计算规则113

5.2.3 在无穷远点的留数115

5.3 留数在定积分计算中的应用119

5.3.1 形如∫ 2π 0 R（cos θ， sin θ）dθ积分119

5.3.2 形如∫ ＋∞ -∞ R（x）dx的积分120

5.3.3 形如∫ ＋∞ -∞ R（x） eiax dx（a＞0）的积分121

本章小结124

习题5128

第6章 Fourier变换130

6.1 Fourier积分130

6.1.1 Founer级数130

6.1.2 Founer积分定理132

6.2 Fourier变换136

6.2.1 Fourier变换与Fourier逆变换的概念136

6.2.2 单位脉冲函数的概念与性质139

6.2.3 单位脉冲函数的Fourier变换143

6.3 Fourier变换的性质145

6.3.1 线性性质145

6.3.2 位移性质146

6.3.3 相似性质147

6.3.4 对称性质148

6.3 5微分性质148

6.3.6 积分性质149

6.3.7 Parserval等式151

6.4 卷积与卷积定理151

6.4.1 卷积的概念152

6.4.2 卷积定理155

6.5 Fourier变换的应用157

本章小结160

习题6163

第7章 Laplace变换166

7.1 Laplace变换的概念166

7.1.1 Laplace变换的定义166

7.1.2 Laplace变换的存在定理168

7.1.3 周期函数的Laplace变换171

7.2 Laplace变换的性质173

7.2.1 线性性质174

7.2.2 微分性质174

7.2.3 积分性质176

7.2.4 位移性质178

7.2.5 延迟性质178

7.2.6 相似性质181

7.2.7 初值定理与终值定理182

7.3 卷积184

7.3.1 卷积的概念184

7.3.2 卷积定理185

7.4 Laplace逆变换188

7.4.1 反演积分公式188

7.4.2 利用留数计算反演积分189

7.5 Laplace变换的应用195

7.5.1 解线性常微分方程195

7.5.2 解积分微分方程199

7.5.3 解线性常微分方程组201

7.5.4 解线性偏微分方程203

7.5.5 线性系统的传递函数206

本章小结208

习题7212

第8章 Matlab在复变函数与积分变换中的应用215

8.1 Matlab编程基础215

8.1.1 语句与变量215

8.1.2 向量与矩阵216

8.1.3 控制流和M文件216

8.2 Matlab在复变函数与积分变换中的应用218

8.2.1 复数与复矩阵的生成218

8.2.2 复数的运算219

8.2.3 留数220

8.2.4 复变函数的积分222

8.2.5 Fourier变换224

8.2.6 Laplace变换225

本章小结226

习题8227

习题答案228

参考文献239

附录Ⅰ Fourier变换简表240

附录Ⅱ Laplace变换简表243