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第1章　预备知识1

1.1　Cantor基数理论1

1.2　Lebesgue测度理论6

1.2.1　外测度6

1.2.2　可测集8

1.2.3 可测函数14

1.2.4　Luzin可测函数结构定理17

1.3　Lebesgue积分理论19

1.3.1　Lebesgue积分概念及其性质19

1.3.2　Lebesgue控制收敛定理30

1.4　习题38

第2章　度量空间41

2.1　度量空间的概念和例子41

2.2　度量空间中的一些重要概念49

2.3　度量空间的极限与完备性52

2.4　度量空间的完备化59

2.5　紧性62

2.5.1　紧性概念62

2.5.2　Ascoli-Arzelà定理64

2.6　习题66

第3章　线性空间和赋范线性空间69

3.1　线性空间69

3.2　赋范线性空间71

3.3　线性算子和线性泛函80

3.3.1　线性算子80

3.3.2　有界线性算子83

3.3.3　线性泛函88

3.3.4　有限维线性空间上的线性算子和线性泛函92

3.4　对偶空间95

3.5　习题98

第4章　Banach空间理论基础104

4.1　Zorn引理104

4.2　Hahn-Banach定理105

4.3.1　伴随算子的概念117

4.3　伴随算子117

4.3.2　线性算子与其伴随算子之间的关系119

4.4　自反空间123

4.5　共鸣定理127

4.6　弱收敛131

4.6.1　赋范线性空间中的序列131

4.6.2　有界线性算子序列134

4.6.3　有界线性泛函序列135

4.7　紧算子与全连续算子138

4.7.1　紧算子与全连续算子的概念138

4.7.2　紧算子与其伴随算子之间的关系145

4.8 开映射定理147

4.9　闭图像定理149

4.10　习题152

5.1.1　Banach压缩映像原理157

第5章　不动点定理及其应用157

5.1　Banach压缩映像原理及其应用157

5.1.2　线性代数方程组解的存在唯一性定理160

5.1.3　微分方程解的存在唯一性定理163

5.1.4　积分方程解的存在唯一性定理166

5.1.5　关于压缩型算子的比较168

5.2　Brouwer不动点定理及其应用171

5.2.1　Brouwer不动点定理171

5.2.2　代数学基本定理175

5.3　Schauder不动点定理及其应用176

5.3.1　Schauder不动点定理176

5.3.2　微分方程解的存在性定理178

5.4　Krasnoselskii不动点定理180

5.5　习题181

第6章　内积空间185

6.1 内积空间的概念185

6.2　直和190

6.3　规范正交集194

6.4　完全规范正交集198

6.5　泛函表示204

6.6　Hilbert伴随算子208

6.6.1　Hilbert伴随算子的概念208

6.6.2　伴随算子与Hilbert伴随算子之间的联系和区别211

6.7　有界线性算子类213

6.8　习题216

第7章　线性算子谱理论基础222

7.1　特征根和特征向量222

7.2　有界线性算子的谱223

7.3　有界Hermite线性算子的谱232

7.4　Riesz-Schauder理论236

7.5　紧Hermite算子的谱性质及特征展开246

7.6　习题248

8.1　Nemetskii算子250

第8章　非线性算子理论基础250

8.2　H？lder不等式和Minkowski不等式256

8.3　Urysohn算子258

8.4　Banach空间中的微积分学260

8.4.1　积分学261

8.4.2　微分学262

8.4.3　Fréchet微分学264

8.4.4　G？teaux微分学274

8.5　隐函数定理和反函数定理277

8.6　Banach空间中微分方程的Cauchy问题282

8.6.1　Gr？nwall-Bellman不等式282

8.6.2　Cauchy-Picard解的存在唯一性定理286

8.6.3　解的整体存在性定理287

8.7　习题288

9.1　锥理论和半序方法290

9.1.1　锥理论290

第9章　上下解方法及其应用290

9.1.2　增算子和上下解方法296

9.2　一阶微分方程的Cauchy问题298

9.3　微分方程的周期边值问题304

9.3.1　一阶微分方程的周期边值问题304

9.3.2　二阶微分方程的周期边值问题306

9.4　二阶微分方程的两点边值问题309

9.5　拟上下解方法及其应用313

9.6　Volterra积分-微分方程317

9.6.1　一阶Volterra积分-微分方程的Cauchy问题317

9.6.2　二阶Volterra积分-微分方程的周期边值问题320

9.7　泛函微分方程解的存在唯一性324

9.7.1　有限时滞情形325

9.7.2　无限时滞情形327

9.8　习题331

10.1.1　C2映像的Brouwer度定义332

10.1　Brouwer度332

第10章　拓扑度理论及其应用332

10.1.2　连续映像的Brouwer度定义339

10.2　Brouwer度的性质341

10.2.1　Brouwer度的基本性质341

10.2.2　Brouwer度的简化定理与乘积公式344

10.2.3　Borsuk定理345

10.2.4　Brouwer度的应用举例346

10.3　Leray-Schauder度348

10.3.1　Leray-Schauder度的建立349

10.3.2　Leray-Schauder度的性质352

10.3.3　孤立零点的指数353

10.3.4　Borsuk定理的推广355

10.4　不动点定理356

10.5　习题359

参考文献361

术语索引369

符号意义（有特殊说明的除外）376