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1数学控制论浅谈&张旭1

1.1引言1

1.1.1概述1

1.1.2控制科学发展简史2

1.1.3控制科学中的基本问题4

1.1.4数学控制论6

1.2有限维系统控制理论7

1.2.1有限维系统的能控性7

1.2.2有限维系统的最优控制9

1.3分布参数系统控制理论12

1.3.1分布参数系统的能控性13

1.3.2分布参数系统的最优控制18

1.4随机有限维系统控制理论20

1.4.1随机有限维系统的能控性21

1.4.2随机有限维系统的最优控制23

1.5随机分布参数系统控制理论25

1.5.1随机分布参数系统的能控性26

1.5.2随机分布参数系统的最优控制29

参考文献33

2非负曲率流形与Tits几何&方复全39

2.1非负曲率黎曼流形的主要结构定理39

2.2非负曲率流形上的反射群40

2.3极作用42

2.4极作用和房系统44

2.5正曲率流形上的极作用46

参考文献48

3素数分布与Mobius正交性猜想&刘建亚50

3.1轨道上的素数分布50

3.2二次型与高次型52

3.3 Mobius正交性猜想53

3.4远端流55

3.5α非丢番图57

参考文献58

4度量黎曼几何之旅&戎小春 黄虹智60

4.1引言60

4.2低维Riemann几何61

4.3经典比较Riemann几何64

4.3.1截面曲率与距离比较65

4.3.2 Ricci曲率与体积比较69

4.4 Gromov-Hausdorff拓扑71

4.5度量Riemann几何的进展75

4.5.1截面曲率两边有界与收敛塌缩理论75

4.5.2截面曲率有下界与Alexandrov几何77

4.5.3 Ricci曲率有下界与Cheeger-Colding理论78

参考文献81

5局部指标理论简介&张伟平84

5.1指标定理简介84

5.1.1从三角形到流形84

5.1.2 Gauss-Bonnet-Chern定理与Chern-Weil理论88

5.1.3 Hirzebruch符号差定理与Hirzebruch-Riemann-Roch定理91

5.1.4 Atiyah-Singer指标定理93

5.1.5 McKean-Singer公式95

5.2局部指标理论97

5.2.1局部Gauss-Bonnet-Chern定理98

5.2.2关于Dirac算子的Atiyah-Singer指标定理99

5.2.3关于Dirac算子的局部指标定理与η不变量101

6二维拓扑场理论与镜对称&范辉军104

6.1前言104

6.2黎曼面，曲线模空间和Witten猜想109

6.2.1黎曼面和曲线模空间109

6.2.2模空间的紧化以及同义映射111

6.2.3曲线模空间上的同义环和递归关系113

6.2.4 KdV可积系统118

6.2.5相交理论与Witten猜想120

6.2.6带边黎曼面的模空间与开的KdV可积系统122

6.2.7评论126

6.3卡-丘（CY）流形之间的镜对称现象126

6.3.1 Candelas， dela Ossa， Green和 Parks的发现126

6.3.2镜像对称的几何构造128

6.3.3 Strominger-Yau-Zaslow镜像对称猜想142

6.3.4非卡-丘模型的SYZ猜想146

6.4辛几何与伪全纯曲线模空间（A模型1）146

6.4.1稳定映射的模空间与Gromov-Witten不变量146

6.4.2 Kontsevich-Manin公理化体系149

6.4.3 WDVV方程和量子乘法151

6.5复结构形变理论（B模型1）160

6.5.1一般复流形的形变理论160

6.5.2卡-丘流形的形变164

6.5.3紧Kahler流形上Hodge结构的形变与周期域166

6.5.4三维卡-丘流形上的特殊几何和tt*方程169

6.5.5 DGBV代数与Frobenius流形174

6.5.6复结构形变的量子化方法185

6.6朗道-金兹堡（LG）模型与更一般的镜对称现象199

6.7上同调场论202

6.8关于奇点的Saito-Givental量子化理论（B模型2）203

6.8.1经典的奇点理论203

6.8.2 Saito平坦结构理论204

6.8.3本原形式的扰动计算方法210

6.8.4 Givental形式量子化213

6.9 FJRW理论（量子奇点理论）（A模型2）229

6.9.1状态空间229

6.9.2虚拟基本圈的构造和穿墙现象231

6.9.3 FJRW理论的公理体系236

6.10 ADE情形广义Witten猜想的解决和整体的镜对称猜想239

6.11微分几何途径：Schroedinger方程与LG模型的Hodge理论241

6.11.1截面-丛系统中的微分算子与超对称代数结构242

6.11.2谱理论，Hodge定理和Hard Lefschetz定理242

6.11.3 L2-？f-上同调群的计算244

6.11.4超位势的形变理论与稳定性定理244

6.11.5 tt*几何结构245

6.11.6 tt*几何与Frobenius流形结构（当？→0时）250

6.11.7进一步的发展252

6.12开弦理论简介252

6.12.1拉格朗日相交的Floer理论253

6.12.2 Fukaya范畴260

6.12.3 B理论的范畴化268

6.12.4同调镜像对称猜想277

6.12.5进一步的问题282

6.13统一理论：规范线性西格玛模型283

参考文献289

7拓扑量子态与拓扑电子材料&方忠307

7.1简介307

7.1.1对称性与物态308

7.1.2准粒子与能带309

7.1.3拓扑量子态311

7.2拓扑不变量313

7.2.1动量空间313

7.2.2联络与曲率315

7.2.3陈数317

7.2.4 Z2不变量318

7.2.5磁单极318

7.3拓扑量子态319

7.3.1整数量子霍尔效应（IQHE）/量子反常霍尔效应（QAHE）320

7.3.2量子自旋霍尔效应（QSHE）321

7.3.3拓扑绝缘体321

7.3.4拓扑金属/半金属322

7.4拓扑材料323

7.4.1反带机制323

7.4.2二维拓扑绝缘体：HgTe量子阱324

7.4.3三维拓扑绝缘体Bi2Se3、Bi2Te3、Sb2Te3家族325

7.4.4量子化反常霍尔效应326

7.4.5 Weyl半金属326

7.4.6 Dirac半金属327

7.5总结328

参考文献328