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第八章 多元函数的微分学1

第一节 多元函数的极限与连续性1

一、区域1

二、多元函数概念2

三、多元函数的极限4

四、多元函数的连续性5

练习8-17

第二节 偏导数8

一、偏导数的定义及计算8

二、高阶偏导数10

练习8-212

第三节 全微分13

一、全微分的定义13

二、全微分在近似计算中的应用15

练习8-316

第四节 多元复合函数的求导法则17

练习8-420

第五节 隐函数的求导公式21

一、一个方程的情形21

二、方程组的情形23

练习8-525

第六节 微分法在几何上的应用25

一、空间曲线的切线与法平面25

二、曲面的切平面与法线28

练习8-630

第七节 方向导数和梯度30

一、方向导数30

二、梯度32

练习8-733

第八节 极值与条件极值34

一、多元函数的极值及最大值、最小值34

二、条件极值37

三、最小二乘法39

练习8-841

第九节 二元函数的泰勒公式42

练习8-944

进一步说明44

习题八45

第九章 重积分49

第一节 二重积分49

一、二重积分的概念49

二、二重积分的计算52

练习9-162

第二节 三重积分63

一、三重积分的概念63

二、三重积分的计算64

练习9-270

第三节 重积分的应用71

一、在几何方面的应用71

二、在力学中的应用72

练习9-375

进一步说明76

习题九76

第十章 曲线积分与曲面积分78

第一节 第一类曲线积分78

一、第一类曲线积分的概念与性质78

二、第一类曲线积分的计算方法79

练习10-181

第二节 第二类曲线积分81

一、第二类曲线积分的概念与性质81

二、第二类曲线积分的计算方法82

三、两类曲线积分之间的关系85

练习10-286

第三节 格林公式及其应用86

一、格林（Green）公式86

二、格林公式的应用——四个等价命题89

练习10-390

第四节 第一类曲面积分91

一、第一类曲面积分的概念与性质91

二、第一类曲面积分的计算方法92

练习10-493

第五节 第二类曲面积分94

一、有向曲面及其在坐标面上的投影94

二、第二类曲面积分的概念与性质94

三、第二类曲面积分的计算方法96

四、两类曲面积分之间的关系97

练习10-598

第六节 高斯公式 通量与散度99

一、高斯（Gauss）公式99

二、通量与散度101

三、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件101

练习10-6102

第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度102

一、斯托克斯（Stokes）公式102

二、环流量与旋度104

三、空间曲线积分与路径无关的条件105

练习10-7106

进一步说明106

习题十108

第十一章 无穷级数109

第一节 常数项级数的概念与性质109

一、常数项级数的概念109

二、收敛级数的基本性质111

练习11-1112

第二节 常数项级数的审敛法113

一、正项级数及其审敛法113

二、交错级数及其审敛法117

三、绝对收敛与条件收敛118

练习11-2119

第三节 幂级数120

一、函数项级数的概念120

二、幂级数及其收敛性121

三、幂级数的运算124

练习11-3126

第四节 函数展开成幂级数127

一、泰勒级数127

二、函数展开成幂级数128

练习11-4132

第五节 函数幂级数展开式的应用132

练习11-5134

第六节 傅里叶（Fourier）级数135

一、三角函数系的正交性135

二、函数展开成傅里叶级数136

练习11-6139

第七节 正弦级数和余弦级数140

一、奇函数和偶函数的傅里叶级数140

二、函数展开成正弦级数与余弦级数142

练习11-7143

第八节 以2l为周期的函数的傅里叶级数143

练习11-8145

进一步说明146

习题十一146

第十二章 微分方程147

第一节 微分方程的基本概念147

练习12-1149

第二节 可分离变量的微分方程150

练习12-2154

第三节 齐次方程155

一、齐次方程155

二、可齐次化的方程158

练习12-3160

第四节 一阶线性微分方程161

一、一阶线性方程161

二、伯努利方程164

三、变量替换法的灵活运用164

练习12-4165

第五节 全微分方程166

一、全微分方程166

二、积分因子169

练习12-5171

第六节 可降阶的高阶微分方程172

一、y(n)=f（x）型的微分方程172

二、y″=f（x,y′）型的微分方程173

三、y″=f（y,y′）型的微分方程175

练习12-6177

第七节 高阶线性微分方程177

一、二阶齐次线性方程的通解178

二、二阶非齐次线性方程的通解179

三、二阶非齐次线性方程的常数变易法180

四、降阶法181

练习12-7183

第八节 二阶常系数齐次线性微分方程184

练习12-8187

第九节 二阶常系数非齐次线性微分方程187

练习12-9193

第十节 欧拉方程193

练习12-10194

第十一节 微分方程的幂级数解法194

练习12-11199

第十二节 常系数线性微分方程组解法举例199

练习12-12202

进一步说明203

习题十二204

第十三章 数学模型与实验206

模型1 放稳椅子206

模型2 雨中行走问题207

模型3 扫雪的速度问题208

模型4 积木能搭多远？209

模型5 溶液混合问题209

模型6 香烟过滤嘴的作用210

模型7 古物年代测定法214

模型8 抵押贷款问题215

实验1 飞机安全降落曲线217

实验2 梯子长度问题219

进一步说明221

第十四章 数值方法222

第一节 方程求根的近似方法222

一、二分法222

二、简单迭代223

三、牛顿法223

练习14-1224

第二节 定积分的近似计算224

练习14-2225

第三节 常微分方程的差分法225

进一步说明226

习题十四227

关于进一步阅读的建议228

主要数学概念中英文对照表229

练习题答案与提示230

参考文献248