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第1章 引论1

1.1 从数学到计算1

1.2 误差理论初步5

1.2.1 误差的来源5

1.2.2 误差的度量6

1.2.3 误差的传播9

1.2.4 数值稳定性11

1.3 数值计算的若干原则11

1.3.1 避免两个相近数相减12

1.3.2 避免用绝对值过小的数作为除数12

1.3.3 要防止大数“吃掉”小数13

1.3.4 简化计算步骤，提高计算效率14

1.3.5 使用数值稳定的算法14

本章小结16

习题116

第2章 计算方法的数学基础18

2.1 微积分的有关概念和定理18

2.1.1 数列与函数的极限18

2.1.2 连续函数的性质20

2.1.3 罗尔定理和微分中值定理20

2.1.4 积分加权平均值定理21

2.2 微分方程的有关概念和定理22

2.2.1 基本概念22

2.2.2 初值问题解的存在唯一性23

2.3 线性代数的有关概念和定理23

2.3.1 线性相关和线性无关23

2.3.2 方阵及其初等变换25

2.3.3 线性方程组解的存在唯一性27

2.3.4 特殊矩阵29

2.3.5 方阵的逆及其运算性质30

2.3.6 矩阵的特征值及其运算性质31

2.3.7 对称正定矩阵34

2.3.8 对角占优矩阵35

2.3.9 向量和连续函数的内积36

2.3.10 向量、矩阵和连续函数的范数37

2.3.11 向量序列与矩阵序列的极限42

本章小结43

习题243

第3章 方程求根45

3.1 引言45

3.2 二分法46

3.3 迭代法50

3.3.1 不动点迭代50

3.3.2 迭代法的收敛性51

3.3.3 迭代法的改善57

3.4 牛顿迭代法59

3.4.1 牛顿迭代公式及其几何意义59

3.4.2 牛顿迭代公式的收敛性60

3.4.3 重根情形63

3.5 弦截法65

本章小结66

习题366

第4章 解线性方程组的直接法68

4.1 引言68

4.2 高斯消去法69

4.2.1 顺序高斯消去法69

4.2.2 主元素高斯消去法73

4.2.3 高斯－约当消去法75

4.3 矩阵三角分解法77

4.3.1 高斯消去法与矩阵三角分解77

4.3.2 直接三角分解法78

4.4 解三对角方程组的追赶法82

4.5 误差分析85

4.5.1 病态方程组与条件数85

4.5.2 病态方程组的解法89

本章小结90

习题490

第5章 解线性方程组的迭代法92

5.1 引言92

5.2 雅可比迭代法94

5.3 高斯－塞德尔迭代法95

5.4 迭代法的收敛性97

本章小结104

习题5104

第6章 函数插值107

6.1 引言107

6.1.1 插值问题107

6.1.2 插值多项式的存在唯一性108

6.2 拉格朗日插值109

6.2.1 线性插值与抛物插值109

6.2.2 拉格朗日插值111

6.2.3 插值余项与误差估计113

6.3 牛顿插值117

6.4 埃尔米特插值121

6.5 分段低次插值123

6.5.1 高次插值与龙格现象123

6.5.2 分段线性插值124

6.5.3 分段三次埃尔米特插值126

6.6 样条函数插值128

6.6.1 三次样条插值函数128

6.6.2 三次样条插值函数的求法130

本章小结133

习题6133

第7章 函数逼近137

7.1 引言137

7.2 函数的内积与正交多项式138

7.2.1 权函数和函数的内积138

7.2.2 正交函数系138

7.2.3 勒让德多项式140

7.2.4 切比雪夫多项式141

7.3 最佳一致逼近142

7.3.1 基本概念142

7.3.2 线性最佳一致逼近多项式143

7.3.3 近似最佳一致逼近多项式145

7.4 最佳平方逼近146

7.4.1 基本概念146

7.4.2 最佳平方逼近函数147

7.5 离散数据的曲线拟合149

7.5.1 曲线拟合问题149

7.5.2 多项式拟合150

7.5.3 正交多项式拟合152

本章小结153

习题7154

第8章 数值积分与数值微分155

8.1 引言155

8.1.1 数值求积的必要性155

8.1.2 数值积分的基本思想156

8.1.3 代数精度156

8.1.4 插值型求积公式158

8.2 牛顿－柯特斯求积公式160

8.2.1 牛顿－柯特斯公式的导出160

8.2.2 牛顿－柯特斯公式的误差估计162

8.3 复合求积公式164

8.3.1 复合梯形求积公式165

8.3.2 复合辛普生求积公式166

8.4 外推算法与龙贝格算法168

8.4.1 变步长的求积公式168

8.4.2 外推算法169

8.4.3 龙贝格求积公式170

8.5 高斯求积公式174

8.5.1 高斯点与高斯求积公式174

8.5.2 高斯－勒让德求积公式175

8.5.3 高斯求积公式的稳定性和收敛性178

8.6 数值微分179

8.6.1 中点公式179

8.6.2 插值型微分公式181

本章小结183

习题8183

第9章 常微分方程初值问题的数值解法187

9.1 引言187

9.2 欧拉公式189

9.2.1 欧拉公式及其意义189

9.2.2 欧拉公式的变形190

9.3 单步法的局部截断误差和方法的阶193

9.4 龙格－库塔方法196

9.4.1 龙格－库塔方法的基本思想196

9.4.2 二阶龙格－库塔方法的推导196

9.4.3 四阶经典龙格－库塔方法199

9.5 单步法的收敛性和稳定性201

9.5.1 单步法的收敛性202

9.5.2 单步法的稳定性204

本章小结207

习题9207

第10章 矩阵特征值计算210

10.1 引言210

10.2 幂法及反幂法212

10.2.1 幂法212

10.2.2 反幂法215

10.3 QR方法216

10.3.1 反射变换217

10.3.2 矩阵的QR分解218

10.3.3 QR方法220

10.4 雅可比方法221

10.4.1 平面旋转矩阵221

10.4.2 雅可比方法及其改进223

本章小结225

习题10226

第11章 函数优化计算227

11.1 引言227

11.2 一元函数优化计算228

11.2.1 牛顿法228

11.2.2 拟牛顿法230

11.2.3 黄金分割法231

11.3 多元函数优化计算232

11.3.1 多元函数有最优解的条件232

11.3.2 多元函数数值求解的原则233

11.3.3 梯度法234

11.3.4 牛顿法236

11.3.5 共轭方向法238

11.3.6 拟牛顿法（变尺度法）240

本章小结242

习题11243

第12章 MATLAB编程基础及其在计算方法中的应用244

12.1 MATLAB简介244

12.2 命令窗口和基本命令245

12.3 变量、常量和数据类型246

12.4 数值运算247

12.4.1 向量运算247

12.4.2 矩阵运算248

12.5 符号运算251

12.5.1 字符串运算251

12.5.2 符号表达式运算252

12.5.3 符号矩阵运算255

12.5.4 符号微积分运算256

12.5.5 方程求解258

12.6 图形可视化260

12.6.1 二维图形绘制260

12.6.2 三维图形绘制261

12.7 程序设计262

12.7.1 命令文件与函数文件262

12.7.2 控制语句263

12.7.3 调试方法265

12.8 MATLAB在计算方法中的应用266

12.8.1 方程求根266

12.8.2 解线性方程组的直接法270

12.8.3 解线性方程组的迭代法275

12.8.4 函数插值278

12.8.5 函数逼近281

12.8.6 数值积分283

12.8.7 常微分方程的数值解法287

12.8.8 矩阵特征值问题计算291

12.8.9 函数优化计算297

本章小结299

习题12300

附录A 计算方法实验301

实验1 方程求根302

实验2 解方程组的直接法303

实验3 解线性方程组的迭代法304

实验4 插值问题305

实验5 曲线拟合306

实验6 数值积分307

实验7 数值微分308

实验8 求解常微分方程的初值问题309

实验9 求解三对角线性方程组310

实验10 矩阵特征值问题计算312

实验11 函数优化计算313

参考文献315